Définition de la probabilité

La probabilité désigne la mesure quantifiant l’attente que l’on peut raisonnablement avoir qu’un certain événement se produise. En gros, c’est une façon de dire combien vous vous attendez à ce que quelque chose se produise, compte tenu de certaines informations. Par exemple, si vous jetez un dé à six faces, la probabilité d’obtenir un trois quelconque est de 1 sur 6, car il y a un seul événement « obtenir un trois » sur six résultats possibles.

Importance du calcul des probabilités

Le calcul des probabilités n’est pas qu’une simple gymnastique intellectuelle. Il s’agit d’une discipline fondamentale pour comprendre le monde aléatoire et incertain qui nous entoure. En effet, de la finance aux jeux de hasard, en passant par la météo et la médecine, les probabilités sont omniprésentes dans notre quotidien. Par exemple, les compagnies d’assurance font appel aux probabilités pour déterminer le prix à payer pour être couvert contre un risque donné. Ainsi, le calcul des probabilités est loin de se résumer à des concepts abstraits ; il a de multiples et réelles applications.

Les concepts de base

L’événement

Définition et types d’événements

Un événement est tout simplement ce qui peut se produire lors d’une expérience. Pour être plus précis, c’est un sous-ensemble qu’on considère dans l’espace des échantillons de cette expérience. Parfois, les événements sont simples, comme « obtenir un trois en lançant un dé à six faces ». D’autres fois, ils sont composés, c’est-à-dire qu’ils regroupent plusieurs événements simples. Par exemple, « obtenir un nombre pair en lançant un dé » est un événement composé, puisqu’il regroupe les événements simples « obtenir un deux », « obtenir un quatre » et « obtenir un six ».

Comment identifier un événement d’un problème ?

L’identification d’un événement dans un problème de probabilité demande une bonne compréhension du contexte de l’expérience menée. En effet, on cherche à cerner l’événement qui nous intéresse, c’est-à-dire ce qui définit la réussite de l’expérience. Par exemple, si vous voulez savoir quelle est la probabilité de tirer un as dans un jeu de 52 cartes, l’événement qui vous intéresse est « tirer un as ». Il est donc essentiel de se poser la question : « Qu’est-ce qui pourrait se produire durant cette expérience, et qu’est-ce qui m’intéresse parmi ces différents scénarios ? »

L’espace des échantillons

Définition et exemples

L’espace des échantillons est le terme technique que les mathématiciens utilisent pour désigner l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience. Autrement dit, c’est l’ensemble des événements simples qui peuvent se produire. Si l’on reprend l’exemple du lancer d’un dé à six faces, l’espace des échantillons serait l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}. De même, pour le lancer d’une pièce de monnaie, l’espace des échantillons serait l’ensemble {pile, face}.

Comment identifier l’espace des échantillons d’un problème ?

Pour identifier l’espace des échantillons, vous devez vous poser la question « Quels sont tous les résultats possibles ? ». Il peut être utile de dessiner une liste ou un diagramme pour visualiser ces résultats. Par exemple, si vous jetez deux dés, vous pouvez faire une grille avec 6 rangées et 6 colonnes, et remplir chaque case avec la somme correspondante. Il est important d’y inclure tous les résultats, même ceux qui paraissent peu probables ou impossibles.

Le calcul des probabilités

Notion de probabilité d’un événement

Formule de calcul de la probabilité

La probabilité d’un événement E est définie comme le ratio du nombre de réalisations de E sur le nombre total de résultats possibles. C’est l’idée intuitive que l’on a de la probabilité : la partie sur le tout. En thermes mathématiques, on écrit P(E) = (nombre de réalisations de E) / (nombre total de résultats possibles). Par exemple, la probabilité d’obtenir un 3 en lançant un dé à six faces est de 1 sur 6, parce qu’il y a un seul événement « obtenir un 3 » et six résultats possibles différents.

Calculs pratiques et résolution de problèmes

Dans les calculs pratiques, il s’agit tout simplement d’appliquer la formule : compter le nombre de fois où l’événement qui vous intéresse peut se produire et diviser par le nombre total de résultats possibles. Par exemple, si on vous demande quelle est la probabilité de tirer une reine dans un jeu de 52 cartes, vous comptez d’abord le nombre de reines dans le jeu (4), puis vous divisez par le nombre total de cartes (52), ce qui fait une probabilité de 4/52 = 1/13. Par contre, il faut être vigilant et bien prendre en compte les conditions de l’expérience : si on vous dit que vous tirez au hasard une carte d’un jeu qui a déjà été bien mélangé, vous pouvez supposer que tous les tirages sont équiprobables. Mais si on vous dit que la coloration des bordes de certaines cartes a été légèrement modifiée et risque d’influencer votre choix, alors tous les tirages ne sont plus équiprobables, et il vous faudra plus d’information pour déterminer les probabilités de chaque tirage.

Intersection et union d’événements

Définitions et symboles

Deux événements sont dits incompatibles, ou disjoints, quand ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Par exemple, si vous lancez une seule fois un dé à six faces, les événements « obtenir un 2 » et « obtenir un 3 » sont incompatibles, car vous ne pouvez obtenir à la fois un 2 et un 3. Mais si vous lancez le dé deux fois, alors ces événements ne sont plus incompatibles : vous pouvez obtenir un 2 au premier lancer et un 3 au deuxième lancer. On définit l’intersection de deux événements comme l’ensemble des résultats qui appartiennent à tous les deux événements. Par exemple, si vous avez un événement A qui est « obtenir un nombre pair » et un événement B qui est « obtenir un nombre supérieur à trois », leur intersection est l’ensemble {4,6}. En effet, un nombre qui est à la fois pair et supérieur à trois doit nécessairement être 4 ou 6 quand on lance un dé à six faces. On utilise le symbole ∩ pour désigner l’intersection : A ∩ B est l’intersection de A et B.

À l’inverse, l’union de deux événements est l’ensemble des résultats qui appartiennent à l’un ou à l’autre des événements. Si on reprend les mêmes événements A et B, leur union inclut donc tous les nombres pairs et tous les nombres supérieurs à trois, ce qui donne l’ensemble {2,4,5,6}. Un nombre qui est soit pair, soit supérieur à trois a nécessairement une de ces deux propriétés. On utilise le symbole ∪ pour désigner l’union : A ∪ B est l’union de A et B.

Calcul de la probabilité de l’intersection de deux événements

Le calcul de la probabilité de l’intersection de deux événements n’est rien de plus que l’addition des deux probabilités individuelles. En d’autres termes, si vous voulez savoir quelle est la probabilité que deux événements A et B se produisent tous les deux, vous devez d’abord calculer la probabilité de chaque événement séparément, puis ajouter ces deux probabilités ensemble. Par exemple, si vous lancez un dé et que vous voulez savoir quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ET un nombre supérieur à trois, c’est à dire l’événement « obtenir un 4 ou un 6 », vous comptez d’abord combien de nombres pairs sont supérieurs à trois (deux, le 4 et le 6), puis vous divisez par le nombre total de résultats possibles (six, pour un dé à six faces), ce qui donne une probabilité de 2 sur 6, soit 1 sur 3. Remarque : si les deux événements sont indépendants, alors la probabilité de leur intersection est le produit des deux probabilités : P(A ∩ B) = P(A) x P(B). Mais si les événements ne sont pas indépendants, on ne peut pas utiliser ce produit directement, et il nous faut plus d’information pour calculer la probabilité de leur intersection.

Calcul de la probabilité de l’union de deux événements

Le calcul de la probabilité de l’union de deux événements suit une logique similaire à celle de l’intersection, mais avec une subtilité supplémentaire. En effet, pour trouver la probabilité que l’événement A OU l’événement B se produise, vous devez d’abord calculer la probabilité de chaque événement séparément, puis ajouter ces deux probabilités. Cependant, en faisant cela, il se peut que vous comptiez deux fois certains résultats qui appartiennent à la fois à A et à Vous devez alors retrancher la probabilité de l’intersection des deux événements. Autrement dit, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Par exemple, si vous lancez un dé et que vous voulez savoir quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair OU un nombre supérieur à trois, vous calculez d’abord la probabilité d’obtenir un nombre pair (1/2, car il y a trois nombres pairs sur six.), puis vous ajoutez la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à trois (1/2, car il y a trois nombres supérieurs à trois.), ce qui donne 1/2 + 1/2 = 1. Mais vous vous rendez compte que vous comptez deux fois les nombres qui sont à la fois pairs et supérieurs à trois, c’est-à-dire 4 et 6. Vous devez donc retrancher la probabilité d’obtenir un 4 ou un 6 en une seule fois, ce qui fait 1 – 1/3 = 2/3. Donc la probabilité d’obtenir un nombre pair OU un nombre supérieur à trois en lançant un dé à six faces est de 2/3.

Exercices pratiques

Résolution de problèmes concernant le calcul de la probabilité d’un événement

Il n’y a pas de secret : la clé pour maîtriser les probabilités, comme beaucoup d’autres choses dans la vie, c’est la pratique. Plus vous rencontrez de problèmes différents, plus vous devenez familiarisé avec les techniques de calcul, et plus vous devenez efficace pour résoudre les problèmes. En particulier, les problèmes de probabilité exigent souvent un certain sens logique et une bonne capacité à envisager tous les scénarios possibles. Les bonnes questions à se poser pour guider sa réflexion sont : « Quels sont les événements qui m’intéressent ? Quels sont les résultats possibles ? Quelle est la relation entre ces événements ? »

Résolution de problèmes concernant l’intersection et l’union d’événements

Les problèmes incluant l’intersection et l’union d’événements peuvent parfois sembler plus compliqués, mais ils font appel aux mêmes principes de base. Souvent, il est utile de visualiser les événements et leurs relations avec un diagramme de Venn, qui représente l’espace des échantillons comme un cercle englobant, et chaque événement comme un cercle inclus. On colorie ensuite les différentes sections du diagramme pour représenter les différentes intersections et unions d’événements. Plus vous manipulez ces concepts, plus ils deviennent intuitifs. Et rappelez-vous : n’hésitez pas à demander de l’aide si vous êtes bloqué sur un problème, et persistez jusqu’à ce que vous trouviez la solution ! La satisfaction de comprendre est imbattable.

Conclusion

Résumé des concepts clé

Pour conclure, le calcul des probabilités est une branche des mathématiques qui peut sembler déroutante de prime abord, mais qui s’éclaire vite une fois qu’on a compris ses principes de base. Le cœur du calcul des probabilités est de définir clairement les événements et l’espace des échantillons, de compter le nombre de réalisations de chaque événement, et de diviser par le nombre total de résultats. Les notions d’intersection et d’union d’événements nous permettent de traiter les cas où nous sommes intéressés par plusieurs événements à la fois. Les formules de calcul peuvent sembler compliquées, mais elles deviennent plus faciles à manier avec la pratique.

Importance et applications du calcul des probabilités

Enfin, il est important de ne pas perdre de vue le fait que les probabilités s’appliquent à de nombreux aspects de notre vie quotidienne. Que ce soit pour décider si vous devriez souscrire à une assurance, pour choisir le meilleur chemin pour rentrer chez vous en évitant les embouteillages, ou pour déterminer la meilleure stratégie pour gagner à un jeu de cartes, comprendre les probabilités vous donne un avantage certain. Et même s’il ne s’agit pas de faire des mathématiques toute la journée, un minimum de culture mathématique vous aide à comprendre le monde d’une manière plus éclairée.