TP 6
Auteur: Olivier Musset, Maître de conférences, université de Bourgogne
Les simulations par applets Java proviennent du site de Jean-Jacques Rousseau de l'Université du Maine:
Introduction à l’électrocinétique par la mécanique des fluides
Jean Louis Poiseuille (1799 –1869) Georg Simon Ohm (1789 – 1854)
I) Présentation
1) Introduction
Pour essayer de comprendre le fonctionnement d'un circuit électrique, des physiciens du XIXème siècle ont comparé la circulation du courant électrique (ils ne connaissaient pas les électrons) à la circulation de l'eau dans un circuit hydraulique.
Dans un circuit hydraulique comportant un lac, une rivière, une chute d'eau, et une pompe qui remonte l'eau au lac, considérons deux points A et B de la rivière (voir ci-dessous). L'eau circule de A vers B parce qu'il y a une différence d'altitude entre A et B : le pt A est plus haut que le pt B.
De même dans un circuit électrique, le courant électrique circule d'un point A vers un point B car le point A se trouve à un niveau électrique plus élevé que le point B. Le niveau électrique d'un point d'un circuit a été appelé le potentiel électrique. La différence de potentiel électrique entre A et B s'appelle la tension entre A et B. On se propose d’observer les analogies entre les deux représentations.
Tout comme il est possible de mesurer la quantité d'eau qui passe dans un tuyau durant un temps déterminé, il est possible de mesurer la quantité d'électricité passant dans un conducteur durant un temps donné.
L'unité de quantité d'électrons en mouvement dans un conducteur ou, plus usuellement, l'unité de quantité d'électricité circulant dans un conducteur est le Coulomb. Dans certains cas, cette unité est insuffisamment précise. En effet, si nous reprenons l'analogie hydraulique, 100 litres d'eau par exemple peuvent s'écouler dans un tuyau en une heure ou en une minute ; il est donc indispensable de préciser le temps.
Il en va de même en électricité où 1 coulomb peut circuler en une minute ou en une seconde, par exemple. Aussi a-t-on créé l'unité d'intensité d'électricité qui est la quantité d'électricité (en l'occurrence 1 coulomb) circulant dans un conducteur durant une seconde ; cette unité s'appelle l'ampère (symbole : A).
2) Notion de différence de potentiel ou de tension
En regardant le schéma électrique précédent, rappelons que le mouvement d'électrons sera d'autant plus important que le potentiel du pôle positif (+) de la pile sera élevé ou, en d'autres termes, que la différence de potentiel entre les deux pôles de la pile sera importante ; (encore que ce mouvement d'électrons (intensité) puisse être modifié par la résistance du conducteur). Revenons encore une fois à l'analogie hydraulique. Supposons deux vases communicants contenant de l'eau et reliés entre eux par un tuyau souple en caoutchouc. Soulevons l'un des vases ; l'eau s'écoulera du vase supérieur au vase inférieur ; cet écoulement est l'intensité qui sera d'autant plus grande que :
1 - la section du tuyau sera importante (résistance plus faible)
2 - la différence de niveau entre les vases sera grande (différence de potentiel plus grande)
3) Notion d’impédance et de résistance
Nous avons vu précédemment qu'en expliquant les notions de tensions et de courants, est apparu un autre paramètre qui était le dimensionnement du tuyau. Pour une différence de hauteur donnée, le débit d'eau dans un tuyau sera d'autant plus important que le tuyau est d'un grand diamètre. De même en électricité, le courant électrique pour une tension donnée est d'autant plus grand que la résistance est faible.
La résistance est comparable à une route qui se rétrécit, où l'on pourrait imaginer deux véhicules roulant côte à côte, étant obligés d'aborder une route simple voie.
La vitesse d'écoulement des véhicules sera d'autant réduite que le rétrécissement sera important. Une résistance électrique se comporte de la même façon. En 1827 Ohm énonce la loi fondamentale de l'électricité : V = RI ou V est la tension en Volts, R la résistance en Ohms et I le courant en Ampères.
II) Ecoulement de Poiseuille : de l’hydraulique à l’électricité
1) Formulaire et introduction à la mécanique des fluides
La présence des forces moléculaires au sein d’un fluide se manifeste dans le phénomène de la viscosité. Lorsqu’un fluide est en mouvement, les nappes de fluide au repos sont sollicitées par celles qui sont en mouvement.
On considère un élément de surface DS, d’épaisseur infiniment petite, animé de la vitesse 
, et un autre élément de même surface en regard du premier, à la distance dz de celui-ci et animé d’une vitesse (
).
La viscosité du fluide se traduit par l’existence d’une force entre les deux éléments dont l’expression est :
où h est appelé coefficient de viscosité dynamique du fluide.
Dans le système international S.I. (MKSA) l’unité de viscosité dynamique est le pascal . seconde de symbole Pa.s . En effet la dimension du coefficient h est :
On a également proposé d’appeler cette unité dérivée le Poiseuille de symbole Pl. Dans le système CGS, autrefois très utilisé par les physiciens, l’unité est la poise de symbole Po. La dimension de h donne le facteur 10 entre ces deux unités : 1 Pa.s = 1 Pl = 10 Po = 1dPo (décapoise). Le « National Buro of Standards » propose de prendre pour valeur du coefficient h de l’eau à 20 °C heau=0.001002 Pa.s pour des mesures de calibration (heau = 1002 cPo). Pour l’air à 20 °C hair = 1.83.10-5 Pa.s = 18.3 µPl (183 µPo). Pour le glycérol entre – 20 °C et + 20 °C h passe de 134 Pa.s à 1.490.10-3 Pa.s …
2) Ecoulement visqueux dans une conduite cylindrique
D’après la symétrie les filets de liquide ayant une même vitesse sont répartis sur un cylindre annulaire de rayon r et d’épaisseur dr. On se place dans le cas particulier (valable aux faibles débits) où la vitesse au contact des parois est nulle. (on pourra utiliser comme image l’antenne télescopique de radio ou de télévision)
Le cylindre de rayon r est entraîné par la force de pression s’exerçant sur la face extrémité.
A la distance r de l’axe, la vitesse d’écoulement est la même, on peut donc calculer la force de viscosité s’exerçant sur la face latérale de ce cylindre de longueur Dl :
Fp est dirigé dans le sens de l’écoulement et Fn dans le sens opposé, en régime permanent :
on pose DP=P (pi majuscule) = perte de charge en Pa (différence de pressions). On obtient après intégration :
avec L la longueur de tuyau parcouru L = Dl. Puisque v(R) = 0 on obtient finalement :
La répartition des vitesses le long de la section de la conduite est donc parabolique. La valeur maximale de v est sur l’axe et on a la relation suivante :
vaxe = 2*vmoyenne = vmax
La vitesse moyenne est celle correspondant à une mesure de débit moyen.
Pertes de charge et loi de Poiseuille
A partir de la répartition des vitesses on peut calculer le débit de la canalisation :
La perte de charge pour l’élément de canalisation dx vaut
Les tubes de courant animés d’une même vitesse v sont répartis dans un tube cylindrique de rayon r et d’épaisseur dr. Ces éléments apportent au débit la contribution :
Cette loi s’appelle loi de Poiseuille et s’écrit en fonction soit du rayon R soit du diamètre D et de la longueur de tuyau L :
h est le coefficient de viscosité de l’eau vaut 1 mPa.s et RT la résistance à l’écoulement du tube.
On pourrait retrouver, avec un peu de bon sens, et en utilisant l’équation précédente les relations suivantes :
- association de tuyaux en série : 
- association de tuyaux en parallèle : 
L’expérience suivante a pour objet de montrer la relation liant débit, énergie potentielle et résistance à l’écoulement des liquides dans des conduites. Elle permet d'aborder les notions de perte de charge, donc d’énergie, et de montrer l'influence de la section et de la longueur d'un tuyau sur le débit d'un liquide (notion de résistance). On étudiera aussi l’effet d’association de deux tuyaux montés en série ou en parallèle en introduisant la notion de résistance de Poiseuille.
III) Dispositif expérimental
Nomenclature
1- Réservoir
2- Vanne tout ou rien
3- Tuyau souple de jonction
4- Répartiteur fluidique
5- Vanne à tube tout ou rien (robinet d'évacuation d'eau)
6- Vanne à tube tout ou rien (robinet d'évacuation d'air)
7- Raccord de jonction mâle (un par capillaire)
8- Raccord de jonction femelle (un par capillaire)
9- Trois supports capillaires
10- Capillaire, diamètre intérieur 2,2 mm, longueur 300 mm
11- Capillaire, diamètre intérieur 1,2 mm, longueur 300 mm
12- Capillaire, diamètre intérieur 1,2 mm, longueur 150 mm
13- Trois éprouvettes
14- Récipient servant à la vidange
15- Trois vannes tout ou rien
IV) Fonctionnement - mise en œuvre
- Vérifier la présence des éprouvettes (13), du récipient servant de vidange (14).
- Vérifier également que les vannes (5-6-15) sont en position fermées, comme indiqué sur les dessins ci-dessus.
- S'assurer avant toute expérience que les éprouvettes sont vides et propres.
- A la fin de l'expérience vider les éprouvettes de leur contenu dans le réservoir (1) dont on aura préalablement fermé la vanne (2). Rincer les éprouvettes à l'eau de ville.
Attention : ne jamais utiliser d'eau de ville dans le circuit des capillaires : risque d'entartrage ; n'utiliser l'eau de ville que pour le rinçage des éprouvettes.
V) Travail à effectuer
1) Observations préliminaires :
- Estimer la pression d’eau à l’entrée du capillaire en mesurant approximativement la hauteur de la colonne d’eau (cela revient a estimer l’énergie potentielle de la colonne d’eau). La pression exercée par une hauteur d’eau h s’exprime : P=rgh, avec r la masse volumique de l’eau, g = 9,81m.s-2.
- En observant que les tubes (10), (11), (12) sont horizontaux, en déduire la variation d’énergie potentielle, donc la différence de pression entre l’entrée et la sortie du tube, en utilisant la grandeur estimée précédemment.
- Ouvrir les vannes (15) se trouvant à l'entrée de chaque tube capillaire (11) et (12), de diamètre 1,2 mm pour des longueurs respectives de 150 et 300 mm. Ouvrir le robinet (2) qui sépare le répartiteur (4) du réservoir d'alimentation (1).
- Observer le débit relatif de liquide dans les deux éprouvettes correspondants aux capillaires (11) et (12).
- Que concluez-vous suite à cette observation sur l'influence de la longueur du tube sur le débit en eau ?
- Fermer le robinet (2) à la fin de l'expérience, attention aux débordements !
L'utilisation simultanée des deux tubes de rayons différents mais de même longueur permet de montrer que le débit est proportionnel à la puissance quatrième du rayon.
- Ouvrir les vannes (15) se trouvant à l'entrée de chaque tube capillaire (10) et (11), de diamètre 2,2 et 1,2 mm pour une même longueur de 300 mm. Ouvrir le robinet (2) qui sépare le répartiteur (4) du réservoir d'alimentation (1).
- Observer le débit relatif de liquide dans les deux éprouvettes correspondants aux capillaires (10) et (11).
- Que concluez-vous suite à cette observation sur l'influence de la section du tube sur le débit en eau ?
2) Mesures de débits
On se propose de vérifier quantitativement la loi dite "loi de POISEUILLE". Pour cela on va mesurer le débit de chacun des capillaires (10 -11 -12) à l'aide d'un chronomètre et de l'éprouvette de volume connu.
- Pour chaque capillaire (10 - 11 -12), ouvrir la vanne tout ou rien (16) correspondante puis le robinet central (2); chronométrer le temps mis pour remplir un volume donné de l’éprouvette. Refermer le robinet central (2). Ne pas oublier de refermer la vanne tout ou rien (16).
- Calculer le débit moyen Qmoy correspondant.
- Connaissant le diamètre de chaque capillaire, calculer la vitesse moyenne d'écoulement de l'eau. En déduire la vitesse le long de l'axe du capillaire.
- En utilisant cette vitesse sur l'axe (et en calculant le débit sur l’axe) calculer la perte de charge de chaque capillaire en utilisant la loi de Poiseuille et la comparer à la pression à l’entrée des tubes.
3) Analyse
- Comparez les débits obtenus avec les deux tubes de même diamètre mais de longueurs différentes (capillaires 11 et 12), conclusion ?
- Donnez la résistance de Poiseuille des deux tubes, que remarquez vous ? En faisant l’approximation que le plus long tube (11) est égal à deux petits tubes (12) mis en série, vérifiez-vous la loi de composition des résistances de Poiseuille en série ?
- On se propose de vérifier maintenant la loi de composition des résistances de Poiseuille en parallèle. Avec le débit total obtenu (sur l’axe), calculez la perte de charge équivalente en utilisant la relation des résistances en parallèles. Conclusion ?
- Proposez une analogie avec la loi d’Ohm en précisant les correspondances entre les différents termes. Définissez particulièrement les notions de tension et de courant électriques par rapport aux notions d’énergie potentielle et de débit.
VI) La loi d’Ohm
Ayant obtenu une relation liant le débit et l’énergie potentielle et ayant proposé une correspondance avec l’électricité, on se propose de vérifier expérimentalement ces propositions.
Pour cela on connecte un générateur de tension variable aux bornes d’un dipôle récepteur. On place dans le circuit un voltmètre et un ampèremètre de manière à pouvoir mesurer et la tension aux bornes du dipôle et le courant le traversant. Le schéma suivant rappelle le montage :
- Tracer la courbe U=f(I) sur une feuille de papier millimétré en veillant à choisi l’échelle la plus adaptée.
- Donner la nature de la courbe obtenue et son équation générale associée.
- Proposer une signification aux différents termes de l’équation obtenue.
- Conclure.
En général un dipôle peut dissiper une puissance maximum fixée par le constructeur. La puissance est donnée par la relation P=UI.
Tracer la courbe correspondant à une puissance maximale de 1W, appelée courbe d’isopuissance, sur la même feuille de papier millimétré que précédemment. Expliquez votre méthode.
VII) Le pont de Wheatstone
Du nom de son inventeur, le physicien anglais Charles Wheatstone (1802 - 1875), ce montage permet de mesurer des résistances avec une grande précision.
Charles Wheatstone (1802 –1875)
Résistance, intensité du courant et tension aux bornes d'un conducteur ohmique sont reliés par la loi d' Ohm : U = R . I où U est la tension aux bornes du conducteur ohmique, R sa résistance et I l'intensité du courant qui le traverse.
L'intensité du courant et la différence de potentiel (tension) entre deux points du circuit peuvent être calculés en utilisant les lois suivantes:
- loi d'additivité des tensions : Pour des dipôles associés en série UAD = UAB + UBC + UCD
- loi des nœuds : La somme des intensités des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des intensités des courants qui en repartent.
1) Présentation du pont :
Le pont est constitué d'une source à courant continu alimentant les points A et B, de trois résistances de précision Ra, Rb, R et d'un voltmètre. Rx est la résistance à déterminer. La quatrième résistance est la résistance à déterminer.
Lorsque le voltmètre V indique 0, c’est à dire lorsque le pont est équilibré, on a :
UCD = 0 et i = 0
Ra.ia = Rb.ib (1)
RX.ia = R.ib (2)
En divisant (2) par (1) :
La sensibilité du pont croît avec la tension d'alimentation (UAB).
Elle est maximale quand Ra et Rx sont égales.
Une prédétermination correcte des éléments impose de connaître approximativement la valeur de Rx (mesure à l'ohmmètre). On règle ensuite Ra proche de Rx.
Le rapport Ra/Rb permet de régler le nombre de chiffres significatifs après la virgule (par exemple 1/10 donne 1 chiffre après la virgule).
Une des applications du principe du pont de Wheatstone est la mesure des forces par utilisation de jauges de contraintes.
Exemples de Ponts de Wheatstone en coffret
2) Mesure voir applet : Pont de Wheatstone
Donner une estimation de la valeur de Rx et la comparer à la valeur donnée au multimètre. A votre avis quelle est la valeur la plus précise ? Justifiez votre réponse. On utilisera pour Rx les boites AOIP et le petit galvanomètre à aiguille pour la mesure du 0 volt
Pour information et en fonction du temps restant disponible, on pourra regarder les applets suivants :
|